一元數(shù)據(jù)和多元數(shù)據(jù)

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于一元數(shù)據(jù)和多元數(shù)據(jù)的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

• 1、元數(shù)據(jù)是指

• 2、多元統(tǒng)計(jì)分析概述

• 3、多元線性回歸的模型可以是一元模型嗎

• 4、誰能夠用提供我多元回歸分析的數(shù)據(jù)和一元回歸分析的數(shù)據(jù)，只要數(shù)據(jù)就可以，正確的

一、元數(shù)據(jù)是指

元數(shù)據(jù)是指用來描述數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)，也可以稱為"數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)"。它是用來解釋和描述數(shù)據(jù)內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、質(zhì)量、來源、語義、格式等方面的信息，以便更好地管理、發(fā)現(xiàn)、理解和利用數(shù)據(jù)。元數(shù)據(jù)包含了數(shù)據(jù)的屬性、特征、定義、關(guān)系、分類、標(biāo)識、來源、格式等方面的信息，它可以用來解釋數(shù)據(jù)的意義、用途和價值。

元數(shù)據(jù)可以分為三個層次，即概念層元數(shù)據(jù)、邏輯層元數(shù)據(jù)和物理層元數(shù)據(jù)。概念層元數(shù)據(jù)描述了數(shù)據(jù)的意義、含義和規(guī)則，邏輯層元數(shù)據(jù)描述了數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)、組織和關(guān)系，物理層元數(shù)據(jù)描述了數(shù)據(jù)的存儲和訪問方式。

元數(shù)據(jù)對于數(shù)據(jù)的管理、組織、共享和利用具有重要作用。通過對元數(shù)據(jù)的管理和利用，可以更好地發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)據(jù)，減少數(shù)據(jù)冗余和錯誤，提高數(shù)據(jù)的可重用性和可維護(hù)性，提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量和價值。元數(shù)據(jù)在各種信息管理和數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用。

二、多元統(tǒng)計(jì)分析概述

后期會把每一章的學(xué)習(xí)筆記鏈接加上

多元統(tǒng)計(jì)分析 是研究多個隨機(jī)變量之間相互依賴關(guān)系及其內(nèi)在統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科

在統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容匯總，只考慮一個或幾個因素對一個觀測指標(biāo)（變量）的影響大小的問題，稱為 一元統(tǒng)計(jì)分析 。

若考慮一個或幾個因素對兩個或兩個以上觀測指標(biāo)（變量）的影響大小的問題，或者多個觀測指標(biāo)（變量）的相互依賴關(guān)系，既稱為 多元統(tǒng)計(jì)分析 。

有兩大類，包括：

將數(shù)據(jù)歸類，找出他們之間的聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律。

構(gòu)造分類模型一般采用 聚類分析 和 判別分析 技術(shù)

在眾多因素中找出各個變量中最佳的子集合，根據(jù)子集合所包含的信心描述多元系統(tǒng)的結(jié)果及各個因子對系統(tǒng)的影響，舍棄次要因素，以簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，認(rèn)識系統(tǒng)的內(nèi)核（有點(diǎn)做單細(xì)胞降維的意思）

可采用 主成分分析 、 因子分析 、 對應(yīng)分析 等方法。

多元統(tǒng)計(jì)分析的內(nèi)容主要有: 多元數(shù)據(jù)圖示法 、 多元線性相關(guān) 與 回歸分析 、 判別分析 、 聚類分析 、 主成分分析 、 因子分析 、 對應(yīng)分析 及 典型相關(guān)分析 等。

多元數(shù)據(jù)是指具有多個變量的數(shù)據(jù)。如果將每個變量看作一個隨機(jī)向量的話，多個變量形成的數(shù)據(jù)集將是一個隨機(jī)矩陣，所以多元數(shù)據(jù)的基本表現(xiàn)形式是一個矩陣。對這些數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行數(shù)學(xué)表示是我們的首要任務(wù)。也就是說，多元數(shù)據(jù)的基本運(yùn)算是矩陣運(yùn)算，而R語言是一個優(yōu)秀的矩陣運(yùn)算語言，這也是我們應(yīng)用它的一大優(yōu)勢。

直觀分析即圖示法，是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的重要輔助手段。例如，通過兩變量的散點(diǎn)圖可以考察異常的觀察值對樣本相關(guān)系數(shù)的影響，利用矩陣散點(diǎn)圖可以考察多元之間的關(guān)系，利用多元箱尾圖可以比較幾個變量的基本統(tǒng)計(jì)量的大小差別。

相關(guān)分析就是通過對大量數(shù)字資料的觀察，消除偶然因素的影響，探求現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的密切程度和表現(xiàn)形式。在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，各個經(jīng)濟(jì)變量常常存在內(nèi)在的關(guān)系。例如，經(jīng)濟(jì)增長與財(cái)政收人、人均收入與消費(fèi)支出等。在這些關(guān)系中，有一些是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，這類關(guān)系可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來。還有一些是非確定的關(guān)系，一個變量產(chǎn)生變動會影響其他變量，使其產(chǎn)生變化。這種變化具有隨機(jī)的特性，但是仍然遵循一定的規(guī)律。函數(shù)關(guān)系很容易解決，而那些非確定的關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系，才是我們所關(guān)心的問題。

回歸分析研究的主要對象是客觀事物變量間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。它是建立在對客觀事物進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上，用來尋找隱藏在看起來不確定的現(xiàn)象中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法?；貧w分析不僅可以揭示自變量對因變量的影響大小，還可以用回歸方程進(jìn)行預(yù)測和控制?；貧w分析的主要研究范圍包括:

(1) 線性回歸模型: 一元線性回歸模型 ， 多元線性回歸模型 。

(2) 回歸模型的診斷: 回歸模型基本假設(shè)的合理性，回歸方程擬合效果的判定，選擇回歸函數(shù)的形式。

(3) 廣義線性模型: 含定性變量的回歸 ， 自變量含定性變量 ， 因變量含定性變量 。

(4) 非線性回歸模型: 一元非線性回歸 ， 多元非線性回歸 。

在實(shí)際研究中，經(jīng)常遇到一個隨機(jī)變量隨一個或多個非隨機(jī)變量的變化而變化的情況，而這種變化關(guān)系明顯呈非線性。怎樣用一個較好的模型來表示，然后進(jìn)行估計(jì)與預(yù)測，并對其非線性進(jìn)行檢驗(yàn)就成為--個重要的問題。在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中，常用多元回歸模型反映預(yù)測量與各因素之間的依賴關(guān)系，其中，線性回歸分析有著廣泛的應(yīng)用。但客觀事物之間并不一定呈線性關(guān)系，在有些情況下，非線性回歸模型更為合適，只是建立起來較為困難。在實(shí)際的生產(chǎn)過程中，生產(chǎn)管理目標(biāo)的參量與加工數(shù)量存在相關(guān)關(guān)系。隨著生產(chǎn)和加工數(shù)量的增加，生產(chǎn)管理目標(biāo)的參量（如生產(chǎn)成本和生產(chǎn)工時等）大多不是簡單的線性增加，此時，需采用非線性回歸分析進(jìn)行分析。

鑒于統(tǒng)計(jì)模型的多樣性和各種模型的適應(yīng)性，針對因變量和解釋變量的取值性質(zhì)，可將統(tǒng)計(jì)模型分為多種類型。通常將自變量為定性變量的線性模型稱為 一般線性模型 ，如實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)模型、方差分析模型; 將因變量為非正態(tài)分布的線性模型稱為 廣義線性模型 ，如 Logistic回歸模型 、 對數(shù)線性模型 、 Cox比例風(fēng)險模型 。

1972年，Nelder對經(jīng)典線性回歸模型作了進(jìn)一步的推廣，建立了統(tǒng)一的理論和計(jì)算框架，對回歸模型在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用產(chǎn)生了重要影響。這種新的線性回歸模型稱為廣義線性模型( generalized linear models，GLM)。

廣義線性模型是多元線性回歸模型的推廣，從另一個角度也可以看作是非線性模型的特例，它們具有--些共性，是其他非線性模型所不具備的。它與典型線性模型的區(qū)別是其隨機(jī)誤差的分布 不是正態(tài)分布 ，與非線性模型的最大區(qū)別則在于非線性模型沒有明確的隨機(jī)誤差分布假定，而廣義線性模型的 隨機(jī)誤差的分布是可以確定的 。廣義線性模型 不僅包括離散變量，也包括連續(xù)變量 。正態(tài)分布也被包括在指數(shù)分布族里，該指數(shù)分布族包含描述發(fā)散狀況的參數(shù)，屬于雙參數(shù)指數(shù)分布族。

判別分析是多元統(tǒng)計(jì)分析中用于 判別樣本所屬類型 的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。所謂判別分析法，是在已知的分類之下，一旦有新的樣品時，可以利用此法選定一個判別標(biāo)準(zhǔn)，以判定將該新樣品放置于哪個類別中。判別分析的目的是對已知分類的數(shù)據(jù)建立由數(shù)值指標(biāo)構(gòu)成的 分類規(guī)則 ，然后把這樣的規(guī)則應(yīng)用到未知分類的樣品中去分類。例如，我們獲得了患胃炎的病人和健康人的一些化驗(yàn)指標(biāo)，就可以從這些化驗(yàn)指標(biāo)中發(fā)現(xiàn)兩類人的區(qū)別。把這種區(qū)別表示為一個判別公式，然后對那些被懷疑患胃炎的人就可以根據(jù)其化驗(yàn)指標(biāo)用判別公式來進(jìn)行輔助診斷。

聚類分析是研究 物以類聚 的--種現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)分析方法。過去人們主要靠經(jīng)驗(yàn)和專業(yè)知識作定性分類處理，很少利用數(shù)學(xué)方法，致使許多分類帶有主觀性和任意性，不能很好地揭示客觀事物內(nèi)在的本質(zhì)差別和聯(lián)系，特別是對于多因素、多指標(biāo)的分類問題，定性分類更難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確分類。為了克服定性分類的不足，多元統(tǒng)計(jì)分析逐漸被引人到數(shù)值分類學(xué)中，形成了聚類分析這個分支。

聚類分析是一種分類技術(shù)，與多元分析的其他方法相比，該方法較為粗糙，理論上還不完善，但應(yīng)用方面取得了很大成功。 聚類分析 與 回歸分析 、 判別分析 一起被稱為多元分析的三個主要方法。

在實(shí)際問題中，研究多變量問題是經(jīng)常遇到的，然而在多數(shù)情況下，不同變量之間有一定相關(guān)性，這必然增加了分析問題的復(fù)雜性。主成分分析就是一種 通過降維技術(shù)把多個指標(biāo)化為少數(shù)幾個綜合指標(biāo) 的統(tǒng)計(jì)分析方法。如何將具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的指標(biāo)綜合成幾個較少的成分，使之既有利于對問題進(jìn)行分析和解釋，又便于抓住主要矛盾作出科學(xué)的評價，此時便可以用主成分分析方法。

因子分析是主成分分析的推廣，它也是一種把多個變量化為少數(shù)幾個綜合變量的多元分析方法，但其目的是 用有限個不可觀測的隱變量來解釋原變量之間的相關(guān)關(guān)系 。主成分分析通過線性組合將原變量綜合成幾個主成分，用較少的綜合指標(biāo)來代替原來較多的指標(biāo)（變量)。在多元分析中，變量間往往存在相關(guān)性，是什么原因使變量間有關(guān)聯(lián)呢? 是否存在不能直接觀測到的但影響可觀測變量變化的公共因子呢?

因子分析就是尋找這些公共因子的統(tǒng)計(jì)分析方法，它是 在主成分的基礎(chǔ)上構(gòu)筑若干意義較為明確的公因子，以它們?yōu)榭蚣芊纸庠兞?，以此考察原變量間的聯(lián)系與區(qū)別 。例如，在研究糕點(diǎn)行業(yè)的物價變動中，糕點(diǎn)行業(yè)品種繁多、多到幾百種甚至上千種，但無論哪種樣式的糕點(diǎn),用料不外乎面粉、食用油、糖等主要原料。那么，面粉、食用油、糖就是眾多糕點(diǎn)的公共因子，各種糕點(diǎn)的物價變動與面粉、食用油、糖的物價變動密切相關(guān)，要了解或控制糕點(diǎn)行業(yè)的物價變動，只要抓住面粉、食用油和糖的價格即可。

對應(yīng)分析又稱為相應(yīng)分析，由法國統(tǒng)計(jì)學(xué)家J.P.Beozecri于 1970年提出。對應(yīng)分析是在因子分析基礎(chǔ)之上發(fā)展起來的一種多元統(tǒng)計(jì)方法，是Q型和R型因子分析的聯(lián)合應(yīng)用。在經(jīng)濟(jì)管理數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析中，經(jīng)常要處理三種關(guān)系，即 樣品之間的關(guān)系（Q型關(guān)系)、變量間的關(guān)系（R型關(guān)系）以及樣品與變量之間的關(guān)系（對應(yīng)型關(guān)系) 。例如，對某一行業(yè)所屬的企業(yè)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)效益評價時，不僅要研究經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)間的關(guān)系，還要將企業(yè)按經(jīng)濟(jì)效益的好壞進(jìn)行分類，研究哪些企業(yè)與哪些經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)的關(guān)系更密切一些，為決策部門正確指導(dǎo)企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營活動提供更多的信息。這就需要有一種統(tǒng)計(jì)方法， 將企業(yè)（樣品〉和指標(biāo)（變量）放在一起進(jìn)行分析、分類、作圖，便于作經(jīng)濟(jì)意義.上的解釋 。解決這類問題的統(tǒng)計(jì)方法就是對應(yīng)分析。

在相關(guān)分析中，當(dāng)考察的一組變量僅有兩個時，可用 簡單相關(guān)系數(shù) 來衡量它們;當(dāng)考察的一組變量有多個時，可用 復(fù)相關(guān)系數(shù) 來衡量它們。大量的實(shí)際問題需要我們把指標(biāo)之間的聯(lián)系擴(kuò)展到兩組變量，即 兩組隨機(jī)變量之間的相互依賴關(guān)系 。典型相關(guān)分析就是用來解決此類問題的一種分析方法。它實(shí)際上是 利用主成分的思想來討論兩組隨機(jī)變量的相關(guān)性問題，把兩組變量間的相關(guān)性研究化為少數(shù)幾對變量之間的相關(guān)性研究，而且這少數(shù)幾對變量之間又是不相關(guān)的，以此來達(dá)到化簡復(fù)雜相關(guān)關(guān)系的目的 。

典型相關(guān)分析在經(jīng)濟(jì)管理實(shí)證研究中有著廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樵S多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間都是多個變量對多個變量的關(guān)系。例如，在研究通貨膨脹的成因時，可把幾個物價指數(shù)作為一組變量，把若干個影響物價變動的因素作為另一組變量，通過典型相關(guān)分析找出幾對主要綜合變量，結(jié)合典型相關(guān)系數(shù)對物價上漲及通貨膨脹的成因，給出較深刻的分析結(jié)果。

多維標(biāo)度分析（ multidimensional scaling，MDS）是 以空間分布的形式表現(xiàn)對象之間相似性或親疏關(guān)系 的一種多元數(shù)據(jù)分析方法。1958年，Torgerson 在其博士論文中首次正式提出這一方法。MDS分析多見于市場營銷，近年來在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域的應(yīng)用日趨增多,但國內(nèi)在這方面的應(yīng)用報道極少。多維標(biāo)度法通過一系列技巧，使研究者識別構(gòu)成受測者對樣品的評價基礎(chǔ)的關(guān)鍵維數(shù)。例如，多維標(biāo)度法常用于市場研究中，以識別構(gòu)成顧客對產(chǎn)品、服務(wù)或者公司的評價基礎(chǔ)的關(guān)鍵維數(shù)。其他的應(yīng)用如比較自然屬性（比如食品口味或者不同的氣味)，對政治候選人或事件的了解，甚至評估不同群體的文化差異。多維標(biāo)度法 通過受測者所提供的對樣品的相似性或者偏好的判斷推導(dǎo)出內(nèi)在的維數(shù) 。一旦有數(shù)據(jù)，多維標(biāo)度法就可以用來分析:①評價樣品時受測者用什么維數(shù);②在特定情況下受測者可能使用多少維數(shù);③每個維數(shù)的相對重要性如何;④如何獲得對樣品關(guān)聯(lián)的感性認(rèn)識。

20世紀(jì)七八十年代，是現(xiàn)代科學(xué)評價蓬勃興起的年代，在此期間產(chǎn)生了很多種評價方法，如ELECTRE法、多維偏好分析的線性規(guī)劃法（LINMAP)、層次分析法（AHP)、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法（EDA）及逼近于理想解的排序法（TOPSIS)等，這些方法到現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展得相對完善了，而且它們的應(yīng)用也比較廣泛。

而我國現(xiàn)代科學(xué)評價的發(fā)展則是在20世紀(jì)八九十年代，對評價方法及其應(yīng)用的研究也取得了很大的成效，把綜合評價方法應(yīng)用到了國民經(jīng)濟(jì)各個部門，如可持續(xù)發(fā)展綜合評價、小康評價體系、現(xiàn)代化指標(biāo)體系及國際競爭力評價體系等。

多指標(biāo)綜合評價方法具有以下特點(diǎn): 包含若干個指標(biāo)，分別說明被評價對象的不同方面 ;評價方法最終要 對被評價對象作出一個整體性的評判，用一個總指標(biāo)來說明被評價對象的一般水平 。

目前常用的綜合評價方法較多， 如綜合評分法、綜合指數(shù)法、秩和比法、層次分析法、TOPSIS法、模糊綜合評判法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法 等。

R -- 永遠(yuǎn)滴神~

三、多元線性回歸的模型可以是一元模型嗎

第11章 一元線性回歸

11.1 變量間關(guān)系的度量

變量之間的關(guān)系可分為兩種類型，即函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。其中，函數(shù)關(guān)系是一一確定的關(guān)系，給定一個自變量x，因變量y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值；變量之間存在的不確定性的數(shù)量關(guān)系，則稱為相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)系數(shù)

相關(guān)關(guān)系可以通過散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)來反映。相關(guān)系數(shù)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的度量兩個變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式為：

按照上述公式計(jì)算的相關(guān)系數(shù)也稱為線性相關(guān)系數(shù)，或稱為Pearson相關(guān)系數(shù)。

r的取值范圍是[-1, 1]。若0 < r ≤ 1，表明x與y之間存在正線性相關(guān)關(guān)系；若-1 ≤ r < 0，表明x與y之間存在負(fù)線性相關(guān)關(guān)系。

r具有對稱性，rxy = ryx。

11.2 一元線性回歸

描述因變量y如何依賴自變量x和誤差項(xiàng)ε的方程稱為回歸模型。只涉及一個自變量的一元線性回歸模型可表示為：

回歸模型中，假定ε的期望值等于0，因此y的期望值E(y) = β0 + β1x，也就是說，y的期望值是x的線性函數(shù)。描述因變量y的期望值如何依賴于自變量x的方程稱為回歸方程。

若總體回歸參數(shù) β0和 β1是未知的，必須利用樣本去估計(jì)它們。用樣本統(tǒng)計(jì)量去代替回歸方程中的未知參數(shù) β0和 β1，這時就得到了估計(jì)的回歸方程。對于一元線性回歸，估計(jì)的回歸方程形式為：

最小二乘法就是通過使因變量的觀測值yi與估計(jì)值之間的離差平方和最小來估計(jì)β0和 β1。

回歸直線與各觀測點(diǎn)的接近程度稱為回歸直線對數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度。因變量y的取值是不同的，y取值的這種波動稱為變差。n次觀測值的總變差可由這些離差的平方和來表示，稱為總平方和(SST)：

總平方和可以分解為兩部分：回歸值與均值的離差平方和稱為回歸平方和(SSR)；實(shí)際觀測點(diǎn)與回歸值的殘差的平方和稱為殘差平方和或誤差平方和(SSE)。回歸平方和占總平方和的比例稱為判定系數(shù)(R2)：

判定系數(shù)R2測度了回歸直線對觀測數(shù)據(jù)的擬合程度。R2的取值范圍是[0, 1]，R2越接近1，回歸的擬合度就越好。相關(guān)系數(shù)r實(shí)際上是判定系數(shù)的平方根。

判定系數(shù)可用于度量回歸直線的擬合程度，而殘差平方和則可以說明實(shí)際觀測值與回歸估計(jì)值之間的差異程度。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差就是度量各實(shí)際觀測點(diǎn)在直線周圍的散布狀況的一個統(tǒng)計(jì)量，它是均方殘差的平方根，用se來表示，其計(jì)算公式為：

估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是對誤差項(xiàng)ε的標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)，反映了用估計(jì)的回歸方程預(yù)測因變量y時預(yù)測誤差的大小。

11.3 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測

利用估計(jì)的回歸方程，對于x的一個特定值x0，求出y的一個估計(jì)值的區(qū)間就是區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)包括置信區(qū)間估計(jì)和預(yù)測區(qū)間估計(jì)。

置信區(qū)間估計(jì)

置信區(qū)間估計(jì)是對x的一個給定值x0，求出y的平均值的區(qū)間估計(jì)。設(shè)x0為自變量x的一個特定值或給定值；E(y0)為給定x0時因變量y的平均值或期望值。一般來說，估計(jì)值不能精確地等于E(y0)。對于給定的x0，可以使用以下公式計(jì)算估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差：

有了估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差之后，對于給定的x0，E(y0)在1-α置信水平下的置信區(qū)間可以表示為：

當(dāng)x0=x均值時，估計(jì)值y的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量最小，估計(jì)是最準(zhǔn)確的。x0偏離均值越遠(yuǎn)，y的平均值的置信區(qū)間就變得越寬，估計(jì)效果越不好。

預(yù)測區(qū)間估計(jì)

預(yù)測區(qū)間估計(jì)是對x的一個給定值x0，求出y的一個個別值的區(qū)間估計(jì)。

為求出預(yù)測區(qū)間，首先必須知道用于估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差，y的一個個別值y0的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量sind計(jì)算公式如下：

對于給定的x0，y0在1-α置信水平下的預(yù)測區(qū)間可表示為：

和置信區(qū)間相比，預(yù)測區(qū)間的根號內(nèi)多了一個1。因此，即使是對同一個x0，置信區(qū)間和預(yù)測區(qū)間的寬度也是不一樣的，預(yù)測區(qū)間要比置信區(qū)間寬一些。兩者的差別表明，估計(jì)y的平均值比預(yù)測y的一個特定值更精確。

第12章 多元線性回歸

12.1 多元回歸模型

在實(shí)際問題中，影響因變量的因素往往有多個，這種一個因變量同多個自變量的回歸問題就是多元回歸。

設(shè)因變量為y，k個自變量分別為x1，x2，…，xk，描述因變量y如何依賴自變量x1，x2，…，xk和誤差項(xiàng)ε的方程稱為多元回歸模型：

與一元線性回歸類似，多元線性回歸模型的ε項(xiàng)有以下基本假定：誤差項(xiàng)ε是一個期望為0的隨機(jī)變量；對于自變量的所有值，ε的方差σ2都相同；誤差項(xiàng)ε是一個服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，ε~N(0, σ2)。

根據(jù)回歸模型的假定，有：

上式稱為多元回歸方程，它描述了因變量y的期望值與自變量之間的關(guān)系。

回歸方程中的參數(shù)β是未知的，需要利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)它們，當(dāng)用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)回歸方程中的位置參數(shù)時，就得到了估計(jì)的多元回歸方程：

回歸方程中樣本統(tǒng)計(jì)量也可以根據(jù)最小二乘法求得，也就是使殘差平方和最小，讓殘差平方和關(guān)于參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零可以求解。

12.2 顯著性檢驗(yàn)

線性關(guān)系檢驗(yàn)是檢驗(yàn)因變量y與k個自變量之間的關(guān)系是否顯著，也稱為總體顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的具體步驟如下：

提出假設(shè)。

H0：β1=β2=…=βk=0

H1：β1，β2，…，βk至少有一個不等于0

計(jì)算檢驗(yàn)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)量F。

回歸平方和SSR和殘差平方和SSE的計(jì)算方式同一元回歸。

作出統(tǒng)計(jì)決策。

給定顯著性水平α， 根據(jù)分子自由度=k， 分母自由度 = n - k - 1查F分布表得Fα。若F > Fα，則拒絕原假設(shè)，即自變量與因變量的線性關(guān)系是顯著的。

在回歸方程通過線性關(guān)系檢驗(yàn)后，還要對各個回歸系數(shù)βi有選擇地進(jìn)行一次或多次檢驗(yàn)?；貧w系數(shù)檢驗(yàn)的具體步驟如下：

提出假設(shè)。對于任意參數(shù)βi( i = 1, 2, …, k )有

H0：βi = 0

H1：βi ≠ 0

計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量t

作出統(tǒng)計(jì)決策。給定顯著性水平α， 根據(jù)自由度 = n - k - 1查t分布表，得tα/2的值。若 | t | > tα/2，則拒絕原假設(shè)，自變量對因變量的影響是顯著的。

12.3 多重共線性與變量選擇

當(dāng)回歸模型中使用兩個或兩個以上的自變量彼此相關(guān)時，則稱回歸模型中存在多重共線性。

當(dāng)出現(xiàn)下列情況，暗示存在多重共線性：

模型中各對自變量之間顯著相關(guān)；

當(dāng)模型的線性關(guān)系顯著時，幾乎所有回歸系數(shù)βi的t檢驗(yàn)卻不顯著；

回歸系數(shù)的正負(fù)號與預(yù)期的相反。

當(dāng)回歸模型存在多重共線性時，可以將相關(guān)的自變量進(jìn)行剔除。

變量選擇與逐步回歸

在建立回歸模型時，希望盡可能用最少的變量來建立模型。選擇自變量的原則通常是對統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：講一個或一個以上的自變量引入回歸模型時， 是否使殘差平方和(SSE)顯著減少。如果增加一個自變量使SSE顯著減少，則說明有必要將這個自變量引入回歸模型，否則就沒有必要將這個自變量引入。

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線性回歸原理---簡單線性回歸、多元線性回歸_溫舊酒一壺~的博客-CSDN...

線性回歸是回歸分析的一種,評估的自變量X與因變量Y之間是一種線性關(guān)系,當(dāng)只有一個自變量時,成為簡單線性回歸,當(dāng)具有多個變量時,稱為多元線性回歸。 線性關(guān)系的理解: >畫出來的圖像是直的(簡單線性回歸是直線,多元線性回歸是超平面) ...

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一元線性回歸與多元線性回歸

線性回歸action精講 線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中回歸分析，來確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，運(yùn)用十分廣泛。其表達(dá)形式為y = w’x+e，e為誤差服從均值為0的正態(tài)分布。 一元與多元 回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)...

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一元線性回歸VS多元線性回歸

      一元線性回歸和多元線性回歸表面意思容易理解，但是結(jié)合實(shí)際的數(shù)據(jù)集，會混亂。這也是在編寫線性回歸博文的時候梳理知識點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自己的不足，同時記錄下來，讓有疑問的同學(xué)也可以得到答案，撥開烏云。 1.在數(shù)據(jù)集上的異同 一元線性回歸： 給定數(shù)據(jù)集，其中，樣本有1個屬性描述。 VS 多元線性回歸： 給定數(shù)據(jù)集，其中 ，，樣本有d個屬性描述。   2.向量表達(dá)式 一元線性回歸：  ...

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