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快速排序平均時間復雜度（快速排序平均時間復雜度證明）

發(fā)布時間：2023-04-08 12:37:09 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 101

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關于快速排序平均時間復雜度的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

1、快速排序
2、關于快速排序和歸并排序的時間復雜度
3、請問快速排序的時間復雜度是怎么推算的？
4、對于輸入為N個數(shù)進行快速排序算法的平均時間復雜度是多少?

快速排序平均時間復雜度（快速排序平均時間復雜度證明）

一、快速排序

基本思想是：通過一趟排序將要排序的數(shù)據(jù)分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有數(shù)據(jù)都比另外一部分的所有數(shù)據(jù)都要小，然后再按此方法對這兩部分數(shù)據(jù)分別進行快速排序，整個排序過程可以遞歸進行，以此達到整個數(shù)據(jù)變成有序序列

快速排序算法通過多次比較和交換來實現(xiàn)排序，其排序流程如下：

(1)首先設定一個分界值，通過該分界值將數(shù)組分成左右兩部分。

(2)將大于或等于分界值的數(shù)據(jù)集中到數(shù)組右邊，小于分界值的數(shù)據(jù)集中到數(shù)組的左邊。此時，左邊部分中各元素都小于或等于分界值，而右邊部分中各元素都大于或等于分界值。

(3)然后，左邊和右邊的數(shù)據(jù)可以獨立排序。對于左側的數(shù)組數(shù)據(jù)，又可以取一個分界值，將該部分數(shù)據(jù)分成左右兩部分，同樣在左邊放置較小值，右邊放置較大值。右側的數(shù)組數(shù)據(jù)也可以做類似處理

(4)重復上述過程，可以看出，這是一個遞歸定義。通過遞歸將左側部分排好序后，再遞歸排好右側部分的順序。當左、右兩個部分各數(shù)據(jù)排序完成后，整個數(shù)組的排序也就完成了。

下面通過一個例子介紹快速排序算法的思想，假設要對數(shù)組a[10]={6，1，2，7，9，3，4，5，10，8}進行排序，首先要在數(shù)組中選擇一個數(shù)作為基準值，這個數(shù)可以隨意選擇，在這里，我們選擇數(shù)組的第一個元素a[0]=6作為基準值，接下來，我們需要把數(shù)組中小于6的數(shù)放在左邊，大于6的數(shù)放在右邊，怎么實現(xiàn)呢？

我們設置兩個“哨兵”，記為“哨兵i”和“哨兵j”，他們分別指向數(shù)組的第一個元素和最后一個元素，即i=0，j=9。首先哨兵j開始出動，哨兵j一步一步地向左挪動（即j–），直到找到一個小于6的數(shù)停下來。接下來哨兵i再一步一步向右挪動（即i++），直到找到一個數(shù)大于6的數(shù)停下來。

最后哨兵j停在了數(shù)字5面前，哨兵i停在了數(shù)字7面前。此時就需要交換i和j指向的元素的值。

交換之后的數(shù)組變?yōu)閍[10]={6，1，2，5，9，3，4，7，10，8}：

第一次交換至此結束。接下來，由于哨兵i和哨兵j還沒有相遇，于是哨兵j繼續(xù)向前，發(fā)現(xiàn)比6小的4之后停下；哨兵i繼續(xù)向前，發(fā)現(xiàn)比6大的9之后停下，兩者再進行交換。交換之后的數(shù)組變?yōu)閍[10]={6，1，2，5，4，3，9，7，10，8}。

第二次交換至此結束。接下來，哨兵j繼續(xù)向前，發(fā)小比6小的3停下來；哨兵i繼續(xù)向前，發(fā)現(xiàn)i==j了！??！于是，這一輪的探測就要結束了，此時交換a[i]與基準的值，數(shù)組a就以6為分界線，分成了小于6和大于6的左右兩部分：a[10]={3，1，2，5，4，6，9，7，10，8}。

至此，第一輪快速排序完全結束，接下來，對于6左邊的半部分3，1，2，5，4，執(zhí)行以上過程；對于6右邊的半部分9，7，10，8，執(zhí)行以上過程，直到不可拆分出新的子序列為止。最終將會得到這樣的序列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，到此，排序完全結束。

快速排序的一次劃分算法從兩頭交替搜索，直到low和hight重合，因此其時間復雜度是O(n)；而整個快速排序算法的時間復雜度與劃分的趟數(shù)有關。

理想的情況是，每次劃分所選擇的中間數(shù)恰好將當前序列幾乎等分，經(jīng)過log₂ n趟劃分，便可得到長度為1的子表。這樣，整個算法的時間復雜度為O(nlog₂ n)。

最壞的情況是，每次所選的中間數(shù)是當前序列中的最大或最小元素，這使得每次劃分所得的子表中一個為空表，另一子表的長度為原表的長度-1。這樣，長度為n的數(shù)據(jù)表的快速排序需要經(jīng)過n趟劃分，使得整個排序算法的時間復雜度為O(n² )。

為改善最壞情況下的時間性能，可采用其他方法選取中間數(shù)。通常采用“三者值取中”方法，即比較H->r[low].key、H->r[high].key與H->r[(low+high)/2].key，取三者中關鍵字為中值的元素為中間數(shù)。

可以證明，快速排序的平均時間復雜度也是O(nlog₂ n)。因此，該排序方法被認為是目前最好的一種內(nèi)部排序方法

二、關于快速排序和歸并排序的時間復雜度

首先你說歸并排序最壞的情形為O(NlogN)，這是不正確的歸并排序如果不借助輔助空間的話，復雜度為O(n^2)，借助的話就是O(nlogn)(O(nlog2n))歸并排序平均復雜度是 O(nlogn) 比較快

快速排序快速排序的最壞情況基于每次劃分對主元的選擇。基本的快速排序選取第一個元素作為主元。這樣在數(shù)組已經(jīng)有序的情況下，每次劃分將得到最壞的結果。一種比較常見的優(yōu)化方法是隨機化算法，即隨機選取一個元素作為主元。這種情況下雖然最壞情況仍然是O(n^2)，但最壞情況不再依賴于輸入數(shù)據(jù)，而是由于隨機函數(shù)取值不佳。實際上，隨機化快速排序得到理論最壞情況的可能性僅為1/(2^n)。所以隨機化快速排序可以對于絕大多數(shù)輸入數(shù)據(jù)達到O(nlogn)的期望時間復雜度。一位前輩做出了一個精辟的總結：“隨機化快速排序可以滿足一個人一輩子的人品需求。”

隨機化快速排序的唯一缺點在于，一旦輸入數(shù)據(jù)中有很多的相同數(shù)據(jù)，隨機化的效果將直接減弱。對于極限情況，即對于n個相同的數(shù)排序，隨機化快速排序的時間復雜度將毫無疑問的降低到O(n^2)。解決方法是用一種方法進行掃描，使沒有交換的情況下主元保留在原位置。

綜合來說快速排序速度最快，時間復雜度最小。希望對你有所幫助！

三、請問快速排序的時間復雜度是怎么推算的？

每次分成兩段，那么分的次數(shù)就是logn了哦，每一次處理需要n次計算，那么時間復雜度就是nlogn了！

注意這是平均時間復雜度，因為你分的時候可能并不均勻！

根據(jù)平均情況來說是O(nlogn),因為在數(shù)據(jù)分布等概率的情況下對于單個數(shù)據(jù)來說在logn次移動后就會被放到正確的位置上了。

最壞是O(n^2).這種情況就是數(shù)組剛好的倒序，然后每次去中間元的時候都是取最大或者最小。

四、對于輸入為N個數(shù)進行快速排序算法的平均時間復雜度是多少?

根據(jù)T(n) = T(ðn) + O(n) (0 < ð <1) 則有 T(n) = O(n)

因此關鍵問題是怎樣解決劃分標準的問題, 因此產(chǎn)生下列線性時間找中位數(shù)的算法:

將數(shù)組a有n個元素, 劃分成5個一組, 則共有[n/5]個元素, 對于每組用一般的排序找中位數(shù),需要25次, 則總共需要O(25*[n/5]) = O(n), 然后在這些中位數(shù)中遞歸找其中位數(shù)需要T(n/5)次,然后以找到的中位數(shù)x來作為劃分標準則顯然劃分時間為O(n), 再遞歸的劃分, 顯然最多有3n/4的元素小于或大于x, 則選擇中位數(shù)的總復雜度為:

T(n) = O(n) + T(n/5) + T(3n/4) 有T(n) = O(n)。

因此快速排序的復雜度為T(n) = 2T(n/2) + O(n) 有:T(n) = nlogn。

但最壞情況下復雜度為O(n^2)，出現(xiàn)此條件的情況是N個數(shù)原來就已經(jīng)按照規(guī)定要求排好序了。

以上就是關于快速排序平均時間復雜度相關問題的回答。希望能幫到你，如有更多相關問題，您也可以聯(lián)系我們的客服進行咨詢，客服也會為您講解更多精彩的知識和內(nèi)容。