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指數(shù)運(yùn)算知識(shí)公式大全
發(fā)布時(shí)間：2023-04-14 11:32:19
稿源：
創(chuàng)意嶺 閱讀：
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大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于指數(shù)運(yùn)算知識(shí)公式大全的問題，以下是小編對(duì)此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。
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本文目錄:
運(yùn)算知識(shí)公式大全.jpg)
一、e指數(shù)的運(yùn)算法則及公式是什么？
e指數(shù)的運(yùn)算法則及公式是：
（1）ln e = 1
（2）ln e^x = x
（3）ln e^e = e
（4）e^(ln x) = x
（5）de^x/dx = e^x
（6）d ln x / dx = 1/x
（7）∫e^x dx = e^x + c
（8）∫xe^xdx = xe^x - e^x + c
（9）e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+....
（10）d(e^x sinx)/dx = e^x sinx +e^xcosx=e^x(sinx+cosx)
e在數(shù)學(xué)上它是函數(shù)：lim(1+1/x)^x，X的X次方，當(dāng)X趨近無窮時(shí)的極限。
人們?cè)谘芯恳恍?shí)際問題，如物體的冷卻、細(xì)胞的繁殖、放射性元素的衰變時(shí)，都要研究lim(1+1/x)^x，X的X次方，當(dāng)X趨近無窮時(shí)的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個(gè)相反方向發(fā)展得來的共同形式，充分體現(xiàn)了宇宙的形成、發(fā)展及衰亡的最本質(zhì)的東西。
有人說美在于事物的節(jié)奏，“自然律”也具有這種節(jié)奏；有人說美是動(dòng)態(tài)的平衡、變化中的永恒，那么“自然律”也同樣是動(dòng)態(tài)的平衡、變化中的永恒；有人說美在于事物的力動(dòng)結(jié)構(gòu)，那么“自然律”也同樣具有這種結(jié)構(gòu)——如表的游絲、機(jī)械中的彈簧等等。
二、求指數(shù)和對(duì)數(shù)的所有運(yùn)算公式...
①loga(mn)=logam+logan；
②loga(m/n)=logam－logan；
③對(duì)logam中m的n次方有=nlogam；
如果a=e^m，則m為數(shù)a的自然對(duì)數(shù)，即lna=m，e=2.718281828…為自然對(duì)數(shù)
的底。定義：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質(zhì)：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);
3、log(a)(m÷n)=log(a)(m)-log(a)(n);
4、log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
5、log(a^n)m=1/nlog(a)(m)
推導(dǎo)：
1、因?yàn)閚=log(a)(b)，代入則a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、mn=m×n
由基本性質(zhì)1(換掉m和n)
a^[log(a)(mn)]
=
a^[log(a)(m)]×a^[log(a)(n)]
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(mn)]
=
a^{[log(a)(m)]
+
[log(a)(n)]}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(mn)
=
log(a)(m)
+
log(a)(n)
3、與（2）類似處理
m/n=m÷n
由基本性質(zhì)1(換掉m和n)
a^[log(a)(m÷n)]
=
a^[log(a)(m)]÷a^[log(a)(n)]
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(m÷n)]
=
a^{[log(a)(m)]
-
[log(a)(n)]}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(m÷n)
=
log(a)(m)
-
log(a)(n)
4、與（2）類似處理
m^n=m^n
由基本性質(zhì)1(換掉m)
a^[log(a)(m^n)]
=
{a^[log(a)(m)]}^n
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(m^n)]
=
a^{[log(a)(m)]*n}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以
log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
基本性質(zhì)4推廣
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導(dǎo)如下：
由換底公式（換底公式見下面）[lnx是log(e)(x)，e稱作自然對(duì)數(shù)的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
換底公式的推導(dǎo)：
設(shè)e^x=b^m,e^y=a^n
則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性質(zhì)4可得
log(a^n)(b^m)
=
[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]
=
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
三、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算公式
1對(duì)數(shù)的概念
如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：logaN=b,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
由定義知：
①負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù);
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特別地，以10為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)，記作log10N,簡(jiǎn)記為lgN；以無理數(shù)e(e=2.718
28…)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作logeN，簡(jiǎn)記為lnN.
2對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化
式子名稱abN指數(shù)式ab=N(底數(shù))(指數(shù))(冪值)對(duì)數(shù)式logaN=b(底數(shù))(對(duì)數(shù))(真數(shù))
3對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM
(n∈R).
問：①公式中為什么要加條件a>0,a≠1，M>0,N>0?
②logaan=?
(n∈R)
③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的比較.(學(xué)生填表)
式子ab=NlogaN=b名稱a—冪的底數(shù)
b—
N—a—對(duì)數(shù)的底數(shù)
b—
N—運(yùn)
算
性
質(zhì)am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
難點(diǎn)疑點(diǎn)突破
對(duì)數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，則N的某些值不存在，例如log-28
②若a=0，則N≠0時(shí)b不存在；N=0時(shí)b不惟一，可以為任何正數(shù)
③若a=1時(shí)，則N≠1時(shí)b不存在；N=1時(shí)b也不惟一，可以為任何正數(shù)
為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對(duì)數(shù)式的底是一個(gè)不等于1的正數(shù)
解題方法技巧
1
(1)將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.
（2）將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg0.01=-2；
⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.
解析由對(duì)數(shù)定義：ab=NlogaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解題方法
指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，必須并且只需緊緊抓住對(duì)數(shù)的定義：ab=NlogaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根據(jù)下列條件分別求x的值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)對(duì)數(shù)式化指數(shù)式，得：x=8-23=?
(2)log5x=20=1.
x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x.
x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1，x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6，
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.
解題技巧
①轉(zhuǎn)化的思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常進(jìn)行著兩種形式的相互轉(zhuǎn)化.
②熟練應(yīng)用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一，已知對(duì)數(shù)式的值，要求指數(shù)式的值，可將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運(yùn)算求值；
思路二，對(duì)指數(shù)式的兩邊取同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算求值
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
解法二對(duì)所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1.
解題技巧
有時(shí)對(duì)數(shù)運(yùn)算比指數(shù)運(yùn)算來得方便，因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子，可利用取對(duì)數(shù)的方法，把指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算.4
設(shè)x,y均為正數(shù)，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范圍.
解析一個(gè)等式中含兩個(gè)變量x、y，對(duì)每一個(gè)確定的正數(shù)x由等式都有惟一的正數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，故y是x的函數(shù)，從而lg(xy)也是x的函數(shù).因此求lg(xy)的取值范圍實(shí)際上是一個(gè)求函數(shù)值域的問題，怎樣才能建立這種函數(shù)關(guān)系呢?能否對(duì)已知的等式兩邊也取對(duì)數(shù)?
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
兩邊取對(duì)數(shù)得：lgx+(1+lgx)lgy=0.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t,
則lgy=-t1+t(t≠-1).
∴l(xiāng)g(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解題規(guī)律
對(duì)一個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)是解決含有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式問題的常用的有效方法；而變量替換可把較復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問題.設(shè)S=t21+t,得關(guān)于t的方程t2-St-S=0有實(shí)數(shù)解.
∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范圍是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)設(shè)lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;
(4)求7lg20·12lg0.7的值.
解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2與lg5的關(guān)系式.
(2)轉(zhuǎn)化為log32的關(guān)系式.
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式給出了a,b之間的關(guān)系，能否從中求出ab的值呢?
(4)7lg20·12lg0.7是兩個(gè)指數(shù)冪的乘積，且指數(shù)含常用對(duì)數(shù)，
設(shè)x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2
(a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2,
即a2-5ab+4b2=0.
∴ab=1或ab=4，這里a>0,b>0.
若ab=1，則a-2b<0,
∴ab=1（
舍去）.
∴ab=4,
∴l(xiāng)og2a-log2b=log2ab=log24=2.
(4)設(shè)x=7lg20·12lg0.7,則
lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12
=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)
=lg7+lg2=14,
∴x=14,
故原式=14.
解題規(guī)律
①對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是進(jìn)行同底的對(duì)數(shù)運(yùn)算的依據(jù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是等式兩邊都有意義的恒等式，運(yùn)用法則進(jìn)行對(duì)數(shù)變形時(shí)要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)的范圍是否改變，為防止增根所以需要檢驗(yàn)，如(3).
②對(duì)一個(gè)式子先求它的常用對(duì)數(shù)值，再求原式的值是代數(shù)運(yùn)算中常用的方法，如(4).6
四、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的轉(zhuǎn)換公式
對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算公式：y=log(a)X，（其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1）
指數(shù)函數(shù)的計(jì)算公式：y=a^x函數(shù)(a為常數(shù)且以a>0，a≠1)
冪函數(shù)的計(jì)算公式：y=x^a(a為常數(shù)）
拓展資料：
一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次冪等于N(N>0)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作log aN=b,讀作以a為底N的對(duì)數(shù)，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。一般地，函數(shù)y=log(a)X，（其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
指數(shù)函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)。應(yīng)用到值e上的這個(gè)函數(shù)寫為exp(x)。還可以等價(jià)的寫為e，這里的e是數(shù)學(xué)常數(shù)，就是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，近似等于 2.718281828，還稱為歐拉數(shù)。一般地，y=a^x函數(shù)(a為常數(shù)且以a>0，a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的定義域是 R 。
一般的，形如y=x^a(a為實(shí)數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。例如函數(shù)y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x時(shí)x≠0)等都是冪函數(shù)。當(dāng)a取非零的有理數(shù)時(shí)是比較容易理解的，而對(duì)于a取無理數(shù)時(shí)，初學(xué)者則不大容易理解了。
因此，在初等函數(shù)里，我們不要求掌握指數(shù)為無理數(shù)的問題，只需接受它作為一個(gè)已知事實(shí)即可，因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)性的極為深刻的知識(shí)。
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