如何求最短路徑（如何求最短路徑數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來(lái)大家介紹下關(guān)于如何求最短路徑的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

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本文目錄:

• 1、求A到B之間的最短路徑，怎么獲取

• 2、最短路徑求最值12個(gè)模型詳解

• 3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)求最短路徑

• 4、求出最短路徑，要過(guò)程，用Dijkstra算法。。。

一、求A到B之間的最短路徑，怎么獲取

問(wèn)題：從某頂點(diǎn)出發(fā)，沿圖的邊到達(dá)另一頂點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑中，各邊上權(quán)值之和最小的一條路徑——最短路徑。解決最短路的問(wèn)題有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，F(xiàn)loyd算法和SPFA算法，另外還有著名的啟發(fā)式搜索算法A*，不過(guò)A*準(zhǔn)備單獨(dú)出一篇，其中Floyd算法可以求解任意兩點(diǎn)間的最短路徑的長(zhǎng)度。任意一個(gè)最短路算法都是基于這樣一個(gè)事實(shí)：從任意節(jié)點(diǎn)A到任意節(jié)點(diǎn)B的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從A到B，2是從A經(jīng)過(guò)若干個(gè)節(jié)點(diǎn)到B。

(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路徑長(zhǎng)度(看下面表格的最后一行，就是next點(diǎn))遞增次序產(chǎn)生最短路徑。先把V分成兩組：

S：已求出最短路徑的頂點(diǎn)的集合

V-S=T：尚未確定最短路徑的頂點(diǎn)集合

將T中頂點(diǎn)按最短路徑遞增的次序加入到S中，依據(jù)：可以證明V0到T中頂點(diǎn)Vk的最短路徑，或是從V0到Vk的直接路徑的權(quán)值或是從V0經(jīng)S中頂點(diǎn)到Vk的路徑權(quán)值之和（反證法可證，說(shuō)實(shí)話，真不明白哦）。

(2) 求最短路徑步驟

初使時(shí)令 S={V0},T={其余頂點(diǎn)}，T中頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的距離值， 若存在<V0,Vi>，為<V0,Vi>弧上的權(quán)值（和SPFA初始化方式不同），若不存在<V0,Vi>，為Inf。

從T中選取一個(gè)其距離值為最小的頂點(diǎn)W(貪心體現(xiàn)在此處)，加入S(注意不是直接從S集合中選取，理解這個(gè)對(duì)于理解vis數(shù)組的作用至關(guān)重要)，對(duì)T中頂點(diǎn)的距離值進(jìn)行修改：若加進(jìn)W作中間頂點(diǎn)，從V0到Vi的距離值比不加W的路徑要短，則修改此距離值（上面兩個(gè)并列for循環(huán)，使用最小點(diǎn)更新）。

重復(fù)上述步驟，直到S中包含所有頂點(diǎn)，即S=V為止（說(shuō)明最外層是除起點(diǎn)外的遍歷）。

二、最短路徑求最值12個(gè)模型詳解

最短路徑求最值12個(gè)模型詳解見下：

問(wèn)題一：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使得 PA + PB 值最小 .

作法：連接 AB，與直線 l 的交點(diǎn)即為 P 點(diǎn) .

原理：兩點(diǎn)之間線段最短 . PA + PB 最小值為 AB .

問(wèn)題二：（“將軍飲馬問(wèn)題”）在直線 l 上求一點(diǎn) P，使得 PA + PB 值最小 .

作法：作點(diǎn) B 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) B＇，連接 AB' 與 l 的交點(diǎn)即為點(diǎn) P．

原理：兩點(diǎn)之間線段最短． PA + PB 最小值為 AB' .

問(wèn)題三：在直線 l1、l2 上分別求點(diǎn) M、N，使得 △PMN 的周長(zhǎng)最小．

作法：分別作點(diǎn) P 關(guān)于兩條直線的對(duì)稱點(diǎn) P' 和 P''，連接 P'P''，與兩條直線的交點(diǎn)即為點(diǎn) M，N．

原理：兩點(diǎn)之間線段最短． PM + MN + PN 的最小值為線段 P'P'' 的長(zhǎng)．

問(wèn)題四：在直線 l1、l2 上分別求點(diǎn) M、N，使四邊形 PQMN 的周長(zhǎng)最?。?/p>

作法：分別作點(diǎn) Q 、P 關(guān)于直線 l1、l2 的對(duì)稱點(diǎn) Q' 和 P' 連接 Q'P'，與兩直線交點(diǎn)即為點(diǎn) M，N.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短． 四邊形 PQMN 周長(zhǎng)的最小值為線段 Q'P' + PQ 的長(zhǎng)．

問(wèn)題五：（“造橋選址問(wèn)題”）直線 m∥n，在 m、n 上分別求點(diǎn) M、N，使 MN⊥m，

且 AM + MN + BN 的值最?。?/p>

作法：將點(diǎn) A 向下平移 MN 的長(zhǎng)度單位得 A'，連接 A'B，交 n 于點(diǎn) N，過(guò) N 作 NM⊥m 于 M .

原理：兩點(diǎn)之間線段最短 . AM + MN + BN 的最小值為 A'B + MN .

問(wèn)題六：在直線 l 上求兩點(diǎn) M , N （M 在左），使 MN = a , 并使 AM + MN + NB 的值最小 .

作法：將點(diǎn) A 向右平移 a 個(gè)長(zhǎng)度單位得 A'，作 A' 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) A''，連接 A''B 交直線 l 于點(diǎn) N，

將 N 點(diǎn)向左平移 a 個(gè)單位得 M .

原理：兩點(diǎn)之間線段最短 . AM + MN + NB 的最小值為 A''B + MN .

問(wèn)題七：在 l1 上求點(diǎn) A，在 l2 上求點(diǎn) B，使 PA + AB 值最小 .

作法：作點(diǎn) P 關(guān)于 l1 的對(duì)稱點(diǎn) P'，作 P'B⊥l2 于點(diǎn) B，交 l1 于點(diǎn) A .

原理：點(diǎn)到直線，垂線段的距離最短 . PA + AB 的最小值為線段 P'B 的長(zhǎng) .

問(wèn)題八：A 為 l1上一定點(diǎn)，B 為 l2 上一定點(diǎn)，在 l2 上求點(diǎn) M，在 l1上求點(diǎn) N，

使 AM + MN + NB 的值最小 .

作法：作點(diǎn) A 關(guān)于 l2 的對(duì)稱點(diǎn) A' , 點(diǎn) B 關(guān)于 l1 的對(duì)稱點(diǎn) B'，連接 A'B' 交 l2 于點(diǎn) M，交 l1 于點(diǎn) N．

原理：兩點(diǎn)之間線段最短． AM + MN + NB 的最小值為線段 A'B' 的長(zhǎng)．

問(wèn)題九：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 | PA - PB | 的值最?。?/p>

作法：連接 AB，作 AB 的中垂線與直線 l 的交點(diǎn)即為 P 點(diǎn)．

原理：垂直平分上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等． | PA - PB | = 0 .

問(wèn)題十：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 | PA - PB | 的值最大．

作法：作直線 AB，與直線 l 的交點(diǎn)即為 P 點(diǎn)．

原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊． | PA - PB | ≤ AB ， | PA - PB | 的最大值 = AB .

問(wèn)題十一：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 | PA - PB | 的值最大．

作法：作點(diǎn) B 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) B' 作直線 AB'，與直線 l 的交點(diǎn)即為 P 點(diǎn)．

原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊． | PA - PB | ≤ AB' ， | PA - PB | 的最大值 = AB' .

問(wèn)題十二：（“費(fèi)馬點(diǎn)”）△ABC 中每一內(nèi)角都小于 120°，在 △ABC 內(nèi)求一點(diǎn) P，

使得 PA + PB + PC 的值最小 .

作法：所求點(diǎn)為 “費(fèi)馬點(diǎn)” ，即滿足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .

以 AB 、 AC 為邊向外作等邊 △ABD、△ACE，連接 CD、BE 相交于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求 .

原理：兩點(diǎn)之間線段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .

三、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)求最短路徑

用Dijkstra算法求從V1頂點(diǎn)到其他各頂點(diǎn)的最短距離和最短路徑的C語(yǔ)言程序如下

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <stdlib.h>

#define N 6 // 頂點(diǎn)數(shù)

#define INF 32767

int adj_arr[N][N] = {{INF, 2, 3, INF, INF, INF},

                   {INF, INF, INF, 5, INF, INF},

                   {INF, INF, INF, 3, 10, INF},

                   {INF, INF, INF, INF, INF, 4},

                   {INF, INF, INF, INF, INF, INF},

                   {INF, INF, INF, INF, 2, INF}}; // 用一個(gè)全局二維數(shù)組存儲(chǔ)帶權(quán)有向圖的鄰接矩陣

void shortest_path(int start, int end);

void print_shortest_path(int* distance,int* path,int* used,int start,int end);

int main(){

  int i;

  char s1[3];

  for(i=1;i<6;i++){

   shortest_path(0, i);

  }

  return 0;

}

void shortest_path(int start, int end){ // 基于Dijkstra算法的最短路徑函數(shù)

  int distance[N]; // 用于存放起始點(diǎn)到其余各點(diǎn)的最短距離

  int path[N]; // 用于存放起始點(diǎn)到其余各點(diǎn)最短路徑的前一個(gè)頂點(diǎn)

  int used[N] = { 0 }; // 用于標(biāo)記該頂點(diǎn)是否已經(jīng)找到最短路徑

  int i, j, min_node, min_dis, pass_flag = 0;

  for(i = 0; i < N; i++){

      distance[i] = adj_arr[start][i]; // 初始化距離數(shù)組

      if(adj_arr[start][i] < INF){

          path[i] = start; // 初始化路徑數(shù)組

      }else{

          path[i] = -1;

      }

  }

  used[start] = 1;

  path[start] = start;

  for(i = 0; i < N; i++){

      min_dis = INF;

      for(j = 0; j < N; j++){

          if(used[j] == 0 && distance[j] < min_dis){

              min_node = j;

              min_dis = distance[j];

              pass_flag++; // 標(biāo)記是否存在通路

          }

      }

      if(pass_flag != 0){

          used[min_node] = 1;

          for(j = 0; j < N; j++){

              if(used[j] == 0){

                  if(adj_arr[min_node][j] < INF && distance[min_node] + adj_arr[min_node][j] < distance[j]){

                      distance[j] = distance[min_node] + adj_arr[min_node][j];

                      path[j] = min_node;

                  }

              }

          }

      }else{

          printf("沒有通路!n");

          return;

      }

  }

  print_shortest_path(distance, path, used, start, end);

  return;

}

void print_shortest_path(int* distance,int* path,int* used,int start,int end){ // 輸出最短距離并打印最短路徑

  int i = 0, pre, inverse_path[N];

  char s1[3],s2[3];

  sprintf(s1, "V%d", (start+1));

  sprintf(s2, "V%d", (end+1));

  printf("從%s頂點(diǎn)到%s頂點(diǎn)的最短距離: %dn", s1,  s2, distance[end]);

  inverse_path[i] = end;

  pre = path[end];

  if(pre == -1){

      printf("沒有通路!n");

  }else{

      while(pre != start){

          inverse_path[++i] = pre;

          pre = path[pre];

      }

      inverse_path[++i] = start;

      printf("從%s頂點(diǎn)到%s頂點(diǎn)的最短路徑:n", s1, s2);

      for(; i > 0; i--){

          sprintf(s1, "V%d", (inverse_path[i]+1));

          printf("%s -> ", s1);

      }

      sprintf(s1, "V%d", (inverse_path[i]+1));

      printf("%sn", s1);

  }

  return;

}

四、求出最短路徑，要過(guò)程，用Dijkstra算法。。。

從v1開始遍歷

v2 = 2;

v3 = 5;

v2較小所以跳到v2

v3 = 4;

v4 = 6;

v5 = 8;

v3較小所以跳到v3

v4 = 5;

v6 = 7;

v4較小所以跳到v4

v6 = 6;

v7 = 9;

v6較小所以跳到v6

v7 = 8;

所以最后結(jié)果v1 -> v7最短路徑為v1->v2->v3->v4->v6->v7,最短路徑長(zhǎng)度為8

以上就是關(guān)于如何求最短路徑相關(guān)問(wèn)題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問(wèn)題，您也可以聯(lián)系我們的客服進(jìn)行咨詢，客服也會(huì)為您講解更多精彩的知識(shí)和內(nèi)容。

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