多目標(biāo)灰狼算法流程圖（多目標(biāo)規(guī)劃圖解法）

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于多目標(biāo)灰狼算法流程圖的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

• 1、求大神給出基于粒子群算法的多目標(biāo)搜索算法的完整程序。。。從目標(biāo)函數(shù)到最后。。

• 2、優(yōu)化算法筆記（十七）萬有引力算法

• 3、怎么評價(jià)MATLAB中g(shù)amultiobj函數(shù)（多目標(biāo)遺傳算法）的計(jì)算結(jié)果？比如下面的函數(shù)和其部分結(jié)果

• 4、基于DEAP庫的Python進(jìn)化算法從入門到入土--（六）多目標(biāo)遺傳算法 NSGA-II

一、求大神給出基于粒子群算法的多目標(biāo)搜索算法的完整程序。。。從目標(biāo)函數(shù)到最后。。

%% 該函數(shù)演示多目標(biāo)perota優(yōu)化問題

%清空環(huán)境

clc

clear

load data

%% 初始參數(shù)

objnum=size(P,1); %類中物品個數(shù)

weight=92; %總重量限制

%初始化程序

Dim=5; %粒子維數(shù)

xSize=50; %種群個數(shù)

MaxIt=200; %迭代次數(shù)

c1=0.8; %算法參數(shù)

c2=0.8; %算法參數(shù)

wmax=1.2; %慣性因子

wmin=0.1; %慣性因子

x=unidrnd(4,xSize,Dim); %粒子初始化

v=zeros(xSize,Dim); %速度初始化

xbest=x; %個體最佳值

gbest=x(1,:); %粒子群最佳位置

% 粒子適應(yīng)度值

px=zeros(1,xSize); %粒子價(jià)值目標(biāo)

rx=zeros(1,xSize); %粒子體積目標(biāo)

cx=zeros(1,xSize); %重量約束

% 最優(yōu)值初始化

pxbest=zeros(1,xSize); %粒子最優(yōu)價(jià)值目標(biāo)

rxbest=zeros(1,xSize); %粒子最優(yōu)體積目標(biāo)

cxbest=zeros(1,xSize); %記錄重量，以求約束

% 上一次的值

pxPrior=zeros(1,xSize);%粒子價(jià)值目標(biāo)

rxPrior=zeros(1,xSize);%粒子體積目標(biāo)

cxPrior=zeros(1,xSize);%記錄重量，以求約束

%計(jì)算初始目標(biāo)向量

for i=1:xSize

for j=1:Dim %控制類別

px(i) = px(i)+P(x(i,j),j); %粒子價(jià)值

rx(i) = rx(i)+R(x(i,j),j); %粒子體積

cx(i) = cx(i)+C(x(i,j),j); %粒子重量

end

end

% 粒子最優(yōu)位置

pxbest=px;rxbest=rx;cxbest=cx;

%% 初始篩選非劣解

flj=[];

fljx=[];

fljNum=0;

%兩個實(shí)數(shù)相等精度

tol=1e-7;

for i=1:xSize

flag=0; %支配標(biāo)志

for j=1:xSize

if j~=i

if ((px(i)<px(j)) && (rx(i)>rx(j))) ||((abs(px(i)-px(j))<tol)...

&& (rx(i)>rx(j)))||((px(i)<px(j)) && (abs(rx(i)-rx(j))<tol)) || (cx(i)>weight)

flag=1;

break;

end

end

end

%判斷有無被支配

if flag==0

fljNum=fljNum+1;

% 記錄非劣解

flj(fljNum,1)=px(i);flj(fljNum,2)=rx(i);flj(fljNum,3)=cx(i);

% 非劣解位置

fljx(fljNum,:)=x(i,:);

end

end

%% 循環(huán)迭代

for iter=1:MaxIt

% 權(quán)值更新

w=wmax-(wmax-wmin)*iter/MaxIt;

%從非劣解中選擇粒子作為全局最優(yōu)解

s=size(fljx,1);

index=randi(s,1,1);

gbest=fljx(index,:);

%% 群體更新

for i=1:xSize

%速度更新

v(i,:)=w*v(i,:)+c1*rand(1,1)*(xbest(i,:)-x(i,:))+c2*rand(1,1)*(gbest-x(i,:));

%位置更新

x(i,:)=x(i,:)+v(i,:);

x(i,:) = rem(x(i,:),objnum)/double(objnum);

index1=find(x(i,:)<=0);

if ~isempty(index1)

x(i,index1)=rand(size(index1));

end

x(i,:)=ceil(4*x(i,:));

end

%% 計(jì)算個體適應(yīng)度

pxPrior(:)=0;

rxPrior(:)=0;

cxPrior(:)=0;

for i=1:xSize

for j=1:Dim %控制類別

pxPrior(i) = pxPrior(i)+P(x(i,j),j); %計(jì)算粒子i 價(jià)值

rxPrior(i) = rxPrior(i)+R(x(i,j),j); %計(jì)算粒子i 體積

cxPrior(i) = cxPrior(i)+C(x(i,j),j); %計(jì)算粒子i 重量

end

end

%% 更新粒子歷史最佳

for i=1:xSize

%現(xiàn)在的支配原有的，替代原有的

if ((px(i)<pxPrior(i)) && (rx(i)>rxPrior(i))) ||((abs(px(i)-pxPrior(i))<tol)...

&& (rx(i)>rxPrior(i)))||((px(i)<pxPrior(i)) && (abs(rx(i)-rxPrior(i))<tol)) || (cx(i)>weight)

xbest(i,:)=x(i,:);%沒有記錄目標(biāo)值

pxbest(i)=pxPrior(i);rxbest(i)=rxPrior(i);cxbest(i)=cxPrior(i);

end

%彼此不受支配，隨機(jī)決定

if ~( ((px(i)<pxPrior(i)) && (rx(i)>rxPrior(i))) ||((abs(px(i)-pxPrior(i))<tol)...

&& (rx(i)>rxPrior(i)))||((px(i)<pxPrior(i)) && (abs(rx(i)-rxPrior(i))<tol)) || (cx(i)>weight) )...

&& ~( ((pxPrior(i)<px(i)) && (rxPrior(i)>rx(i))) ||((abs(pxPrior(i)-px(i))<tol) && (rxPrior(i)>rx(i)))...

||((pxPrior(i)<px(i)) && (abs(rxPrior(i)-rx(i))<tol)) || (cxPrior(i)>weight) )

if rand(1,1)<0.5

xbest(i,:)=x(i,:);

pxbest(i)=pxPrior(i);rxbest(i)=rxPrior(i);cxbest(i)=cxPrior(i);

end

end

end

%% 更新非劣解集合

px=pxPrior;

rx=rxPrior;

cx=cxPrior;

%更新升級非劣解集合

s=size(flj,1);%目前非劣解集合中元素個數(shù)

%先將非劣解集合和xbest合并

pppx=zeros(1,s+xSize);

rrrx=zeros(1,s+xSize);

cccx=zeros(1,s+xSize);

pppx(1:xSize)=pxbest;pppx(xSize+1:end)=flj(:,1)';

rrrx(1:xSize)=rxbest;rrrx(xSize+1:end)=flj(:,2)';

cccx(1:xSize)=cxbest;cccx(xSize+1:end)=flj(:,3)';

xxbest=zeros(s+xSize,Dim);

xxbest(1:xSize,:)=xbest;

xxbest(xSize+1:end,:)=fljx;

%篩選非劣解

flj=[];

fljx=[];

k=0;

tol=1e-7;

for i=1:xSize+s

flag=0;%沒有被支配

%判斷該點(diǎn)是否非劣

for j=1:xSize+s

if j~=i

if ((pppx(i)<pppx(j)) && (rrrx(i)>rrrx(j))) ||((abs(pppx(i)-pppx(j))<tol) ...

&& (rrrx(i)>rrrx(j)))||((pppx(i)<pppx(j)) && (abs(rrrx(i)-rrrx(j))<tol)) ...

|| (cccx(i)>weight) %有一次被支配

flag=1;

break;

end

end

end

%判斷有無被支配

if flag==0

k=k+1;

flj(k,1)=pppx(i);flj(k,2)=rrrx(i);flj(k,3)=cccx(i);%記錄非劣解

fljx(k,:)=xxbest(i,:);%非劣解位置

end

end

%去掉重復(fù)粒子

repflag=0; %重復(fù)標(biāo)志

k=1; %不同非劣解粒子數(shù)

flj2=[]; %存儲不同非劣解

fljx2=[]; %存儲不同非劣解粒子位置

flj2(k,:)=flj(1,:);

fljx2(k,:)=fljx(1,:);

for j=2:size(flj,1)

repflag=0; %重復(fù)標(biāo)志

for i=1:size(flj2,1)

result=(fljx(j,:)==fljx2(i,:));

if length(find(result==1))==Dim

repflag=1;%有重復(fù)

end

end

%粒子不同，存儲

if repflag==0

k=k+1;

flj2(k,:)=flj(j,:);

fljx2(k,:)=fljx(j,:);

end

end

%非劣解更新

flj=flj2;

fljx=fljx2;

end

%繪制非劣解分布

plot(flj(:,1),flj(:,2),'o')

xlabel('P')

ylabel('R')

title('最終非劣解在目標(biāo)空間分布')

disp('非劣解flj中三列依次為P，R，C')

二、優(yōu)化算法筆記（十七）萬有引力算法

（以下描述，均不是學(xué)術(shù)用語，僅供大家快樂的閱讀）

萬有引力算法（Gravitational Search Algorithm）是受物體之間的萬有引力啟發(fā)而提出的算法。算法提出于2008（2009）年，時間不長，不過相關(guān)的文章和應(yīng)用已經(jīng)相對較多，也有不少的優(yōu)化改進(jìn)方案。

萬有引力算法中，每一個物體的位置代表了一個可行解，而物體的質(zhì)量則反映了該位置的好壞，位置越好的物體的質(zhì)量越大，反之物體的質(zhì)量越?。ㄙ|(zhì)量由適應(yīng)度值計(jì)算出，不是直接相等）。物體在解空間中的運(yùn)動方式由其他物體的引力決定，質(zhì)量越大的物體，在同等引力作用下的加速度較小，所以單位時間內(nèi)的速度也相對較小，位移距離較短，反之加速度和速度都較大，位移距離較長。故可以簡單的認(rèn)為， 位置越優(yōu)的個體的移動速度越慢，位置越差的個體的移動速度越快 。

萬物之間皆有萬有引力，不過在我們談到萬有引力之時，對象大多是天體，否則萬有引力太小可以忽略不計(jì)。所有這次我們的主角就是天體了。（總不可能是蘋果吧）。

每一個天體都有個屬性：位置X，質(zhì)量M，加速度A，以及速度V，還有適應(yīng)度值F。

在D維空間內(nèi)有N個天體，其位置為

，加速度

，速度

，其適應(yīng)度值為

。

第i個天體的質(zhì)量則是根據(jù)其適應(yīng)度值計(jì)算得出：

其中M為天體的質(zhì)量在群體重質(zhì)量中的占比， 分別表示全局最差天體的適應(yīng)度值和全局最優(yōu)個體的適應(yīng)度值。

可以看出，處于最優(yōu)位置的天體的質(zhì)量m為1，最差位置的天體的質(zhì)量m為0。當(dāng)最優(yōu)天體和最差天體重合時，所有的天體的質(zhì)量m都為1。

由萬有引力計(jì)算公式和加速度公式可以計(jì)算出當(dāng)前天體收到另一個天體萬有引力而產(chǎn)生的加速度：

其中R表示第i個天體和第j個天體之間的歐式距離，aij為天體i在第d維上受到天體j的萬有引力而產(chǎn)生的加速度,ai為第i個天體受到的其他所有天體萬有引力的合力產(chǎn)生的加速度。G為萬有引力常量，可以根據(jù)一下公式計(jì)算：

其中G0為初始值，T為最大迭代次數(shù)。

計(jì)算出了天體的加速度，則可以根據(jù)當(dāng)前速度計(jì)算出下一步天體的運(yùn)行速度以及天體下一步的位置。

這一步比較簡單與粒子群、蝙蝠等有速度的算法一致。

可以看出萬有引力算法的流程異常的簡單，與經(jīng)典的粒子群差不多。萬有引力算法也可以看做是一個優(yōu)化改進(jìn)版的粒子群，不過設(shè)計(jì)比較巧妙，引入的質(zhì)量、加速度等概念，但實(shí)現(xiàn)仍然很簡單。萬有引力算法的效果如何，在下一節(jié)將會進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測試。

適應(yīng)度函數(shù) 。

實(shí)驗(yàn)一：

從圖像中可以看出，各個天體都在不停的運(yùn)動，由于沒有貪心算法（優(yōu)于當(dāng)前值才改變位置）的加入，所以個天體有可能運(yùn)動到比原先位置更差的地方，而且其收斂速度也比較快。

從結(jié)果上看，似乎還不錯，受到最差值的影響均值也相對較大，算法結(jié)果的穩(wěn)定性不是太好。

直覺上感覺算法有點(diǎn)問題。根據(jù)物理得來的直覺告訴我，這些天體會相互靠近，所以，它們不會集中到它們所構(gòu)成的凸包之外， 凸實(shí)心物體的質(zhì)心不會跑到該物體的外部 。做個試驗(yàn)驗(yàn)證一下，將測試函數(shù)的最優(yōu)解設(shè)置到一個極端的位置。

實(shí)驗(yàn)二 ： 適應(yīng)度函數(shù)

這次最優(yōu)解位置在（90,90）處，該點(diǎn)有很大概率出現(xiàn)在初始天體所圍成的凸多邊形外。

從圖像中可以看出，在天體們還沒有到達(dá)最優(yōu)位置附近（右下角的紅點(diǎn)）時，它們已經(jīng)收斂于一個點(diǎn)，之后則很難再次向最優(yōu)解靠經(jīng)。看結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)幾乎每一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都不太好，算法果然有點(diǎn)問題，不過問題不大。

萬有引力出現(xiàn)這種現(xiàn)象可能有兩個原因： 1.算法收斂的太快 ，還未對全局進(jìn)行充分搜索之時就收斂到了一點(diǎn)，收斂到一點(diǎn)后無法再運(yùn)到。 2.算法沒有跳出局部最優(yōu)的策略 ，萬有引力作用下的天體慢慢聚集到奇點(diǎn)，形成黑洞，無法從中逃離。

那接下來，對萬有引力算法的改進(jìn)方向也比較明確了：1.減緩其收斂速度，2增加跳出局部最優(yōu)操作，使之逃離黑洞。

看看萬有引力常量G的函數(shù)圖像

將萬有引力常量的值修改為隨著迭代次數(shù)線性下降，從圖像中可以看出，效果還是比較明顯的，天體在不斷的運(yùn)動，最后才收斂、聚集于一起。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可以看出，算法相對穩(wěn)定。結(jié)合圖像可以知道，改進(jìn)后，算法的收斂性下降，但全局搜索能力有較大的提升，算法的結(jié)果不會很差但是精度較低。

將萬有引力常量的下降趨勢放緩為原來的1/4，從圖像中可以看出，算法的收斂速度非常快，也得到了較好的結(jié)果，相比線性下降，算法有著更好的精度，不足之處則是沒有跳出局部最優(yōu)的操作，收斂過快也容易陷入局部最優(yōu)。

不知道原文為什么讓萬有引力常量G的如此快的降到0，明明降的更慢能有更好的全局搜索能力，但精度可能較差。猜測如果精度較差則在測試函數(shù)結(jié)果和曲線上比不贏對比的其他算法，論文沒法發(fā)了。其使用的測試函數(shù)的最優(yōu)解大多處于解空間的中心位置附近，即很少出現(xiàn)最優(yōu)解在天體所圍成的凸多面體之外的情況，而實(shí)際問題中我們是無法預(yù)知最優(yōu)解在個位置的。

接下來，將試著為萬有引力算法加入一點(diǎn)跳出局部最優(yōu)的操作。

實(shí)驗(yàn)四 ：改進(jìn),新增以下規(guī)則及操作

在實(shí)驗(yàn)二的條件下

1 . 處于最優(yōu)位置的天體保持自己的位置不動.

2 . 如果某一個天體的運(yùn)動后的位置優(yōu)于當(dāng)前全局最優(yōu)個體的位置則將當(dāng)前的最優(yōu)個體初始化到解空間的隨機(jī)位置.(將被自己干掉的大哥流放)。

3 . 如果觸發(fā)了規(guī)則2，將所有的個體的以迭代次數(shù)重置為0，即計(jì)算G=G0*e^(-20t/T)中的t置為0，重新計(jì)算萬有引力常量，若未觸發(fā)條件2則t=t+1。

從圖像上看，算法的全局搜索能力有大幅的增強(qiáng)，并且已經(jīng)集中到了最優(yōu)解的附近，而且由于加入了“流放”這一跳出局部最優(yōu)的操作，可以看出，不斷的有新的個體出現(xiàn)在距最優(yōu)位置較遠(yuǎn)的位置。不過收斂速度有所下降，因此局部搜索能力有一定減弱。

看結(jié)果，好像沒有實(shí)驗(yàn)三那么好，但與實(shí)驗(yàn)二相比，已經(jīng)有了很大的提升，而且有了跳出局部最優(yōu)的操作，結(jié)果也相對穩(wěn)定。

上述的實(shí)驗(yàn)僅僅是對直觀猜想的實(shí)現(xiàn)，如果想以此為改進(jìn)點(diǎn)，還要對其進(jìn)行大量的調(diào)優(yōu)，相信會有不錯的結(jié)果。

萬有引力算法根據(jù)萬有引力提出，結(jié)合了牛頓第二定律，可以說其操作步驟與真實(shí)的物理規(guī)律非常的貼切。不過就像前文說過，受物理現(xiàn)象啟發(fā)而來的優(yōu)化算法其性能是未知的，因?yàn)樗鼈儾痪邆渲悄?，只有著?guī)律，有規(guī)律就會存在弱點(diǎn)，就會有搜索盲區(qū)。宇宙那么大，肯定存在沒有任何天體到達(dá)過的空間。

不過由于萬有引力算法流程簡單，理解方便，其優(yōu)化方案和能改進(jìn)的地方相對較多。萬有引力算法的收斂速度過快，導(dǎo)致其全局搜索能力較弱而局部搜索能力很強(qiáng)，容易陷入局部最優(yōu)。根據(jù)其特點(diǎn)，我們可以降低其收斂速度或者增加跳出局部最優(yōu)操作，來平衡算法的各個性能。

參考文獻(xiàn)

Rashedi E , Nezamabadi-Pour H , Saryazdi S . GSA: A Gravitational Search Algorithm[J]. Information Sciences, 2009, 179(13):2232-2248. 提取碼：xhpa

以下指標(biāo)純屬個人yy,僅供參考

目錄

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三、怎么評價(jià)MATLAB中g(shù)amultiobj函數(shù)（多目標(biāo)遺傳算法）的計(jì)算結(jié)果？比如下面的函數(shù)和其部分結(jié)果

fun1 = @(x) x(1)^4-10*x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2; %min f1(x1,x2)

fun2 = @(x) x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2+x(1)^4+x(1)*x(2); %min f2(x1,x2)

fun1and2 = @(x) [fun1(x) fun2(x)];

lb = [-5 -5]; ub = [5 5];

options = gaoptimset('PopInitRange',[lb;ub]);

[x,fval,exitflag] = gamultiobj(fun1and2,2,[],[],[],[],lb,ub,options);

[x(:,1) fval(:,1) x(:,2) fval(:,2)]

運(yùn)行上述程序，我們可以得到，x1、x2、f1、f2的值

x1、 x2、 f1、 f2

-0.70497 -5.2198 0.70581 -0.24999

-2.672 -38.333 1.9765 33.06

-2.672 -38.333 1.9765 33.06

-2.4917 -37.682 1.8677 24.405

-2.3171 -35.48 1.9263 18.207

-2.6 -38.206 1.9629 29.391

-0.70497 -5.2198 0.70581 -0.24999

-1.7604 -24.862 0.90859 6.1268

-2.3679 -36.543 1.8192 19.526

-2.1375 -33.048 1.7817 12.639

-1.9846 -29.335 1.8473 10.051

從x1、x2、f1、f2的數(shù)值，不難發(fā)現(xiàn)

x1=-2.672， x2=-38.333 為X1、X2的最優(yōu)解組合，其值分別為f1=1.9765，f2=33.06

四、基于DEAP庫的Python進(jìn)化算法從入門到入土--（六）多目標(biāo)遺傳算法 NSGA-II

在很多實(shí)際工程問題中，我們的優(yōu)化目標(biāo)不止一個，而是對多個目標(biāo)函數(shù)求一個綜合最優(yōu)解。例如在物流配送問題中，不僅要求配送路徑最短，還可能需要參與運(yùn)輸車輛最少等。

多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表達(dá)為：

多目標(biāo)優(yōu)化問題通常具有如下特點(diǎn)：

對于多目標(biāo)優(yōu)化問題，傳統(tǒng)方法是將原問題通過加權(quán)方式變換為單目標(biāo)優(yōu)化問題，進(jìn)而求得最優(yōu)解。該方法具有兩大問題：

遺傳算法具有多點(diǎn)多方向搜索的特征，在一次搜索中可以得到多個Pareto最優(yōu)解，因此更適合求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。

而當(dāng)前用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的遺傳算法一般有兩種思路：

NSGA-II(nondominated sorting genetic algorithm II)是2002年Deb教授提出的NSGA的改進(jìn)型，這個算法主要解決了第一版NSGA的三個痛點(diǎn)：

針對這三個問題，在NSGA-II中，Deb提出了快速非支配排序算子，引入了保存精英策略，并用“擁擠距離”(crowding distance)替代了共享(sharing)。

在介紹NSGA-II的整體流程之前，我們需要先了解快速非支配排序和擁擠距離的定義。

解的支配關(guān)系與Pareto最優(yōu)解

下圖表示了解之間的支配和強(qiáng)支配關(guān)系：

下圖表示了一個最小化問題解集中的Pareto最優(yōu)解和Pareto弱最優(yōu)解：

快速非支配排序步驟

快速非支配排序就是將解集分解為不同次序的Pareto前沿的過程。

它可以描述為：

DEAP實(shí)現(xiàn)

DEAP內(nèi)置了實(shí)現(xiàn)快速非支配排序操作的函數(shù) tools.emo.sortNondominated

tools.emo.sortNondominated(individuals, k, first_front_only=False)

參數(shù)：

返回：

擁擠距離的定義

在NSGA II中，為了衡量在同一個前沿中各個解質(zhì)量的優(yōu)劣，作者為每個解分配了一個擁擠距離。其背后的思想是 讓求得的Pareto最優(yōu)解在objective space中盡量分散 。也就有更大可能讓解在Pareto最優(yōu)前沿上均勻分布。

DEAP實(shí)現(xiàn)

DEAP中內(nèi)置了計(jì)算擁擠距離的函數(shù) tools.emo.assignCrowdingDist

tools.emo.assignCrowdingDist(individuals)

參數(shù)：

返回：

比較操作

根據(jù)快速非支配排序和擁擠距離計(jì)算的結(jié)果，對族群中的個體進(jìn)行排序：

對兩個解 ，

在每個迭代步的最后，將父代與子代合為一個族群，依照比較操作對合并后族群中的個體進(jìn)行排序，然后從中選取數(shù)量等同于父代規(guī)模的優(yōu)秀子代，這就是NSGA-II算法中的精英保存策略。

DEAP實(shí)現(xiàn)

DEAP內(nèi)置了實(shí)現(xiàn)NSGA-II中的基于擁擠度的選擇函數(shù) tools.selNSGA2 用來實(shí)現(xiàn)精英保存策略：

tools.selNSGA2(individuals, k, nd='standard')

參數(shù)：

返回：

這里選用ZDT3函數(shù)作為測試函數(shù)，函數(shù)可表達(dá)為：

其Pareto最優(yōu)解集為

這里為了方便可視化取 。

下圖給出了該函數(shù)在Decision Space和Objective Space中的對應(yīng)：

其pareto最優(yōu)解在Objective Space中如下圖紅點(diǎn)所示：

將結(jié)果可視化：

得到：

可以看到NSGA-II算法得到的Pareto最優(yōu)前沿質(zhì)量很高：最優(yōu)解均勻分布在不連續(xù)前沿的各個線段上；同時在最優(yōu)前沿以外沒有個體存在。

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