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四元數(shù)計算公式（四元數(shù)計算公式怎么算）

發(fā)布時間：2023-04-13 20:47:32 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 114

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關于四元數(shù)計算公式的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

1、坐標轉換與姿態(tài)描述
2、跪求四元數(shù)到歐拉角、旋轉矩陣的變換公式，必須附帶旋轉順序！
3、求3d中四元數(shù)q記為(x,y,z,w)沿xz平面鏡像計算公式?
4、四元數(shù)與方向余弦矩陣

四元數(shù)計算公式（四元數(shù)計算公式怎么算）

一、坐標轉換與姿態(tài)描述

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為了能夠科學的反映物體的運動特性，會在特定的坐標系中進行描述，一般情況下，分析飛行器運動特性經常要用到以下幾種坐標系統(tǒng)1、大地坐標系統(tǒng)；2、地心固定坐標系統(tǒng)；3、 本地北東地坐標系統(tǒng) ；4、 機載北東地坐標系統(tǒng) ；5、 機體軸坐標系統(tǒng) 。

其中3、4、5在我們建模、設計控制律時都是經常需要使用的坐標系，描述物體（剛體）位姿信息的6個自由度信息都是在這三個坐標系中產生的

機體軸坐標系的原點固連于飛行器重心，X軸指向機頭，Z軸指向機腹，X軸和Z軸都位于縱向對稱面內，而Y軸指向機身右側，與X、Z軸構成右手系，該坐標系我們用body的首字母b表示。

機載NED坐標系的原點也位于飛行器重心，其X軸指向橢球模型地理北極，Y軸指向橢球模型地理東方，Z軸沿橢球面法線向下，在絕大多數(shù)理解上都可以理解成通常的北向、東向、地向，通常該坐標系用nv表示。

本地NED坐標系與機載NED坐標系唯一的不同就是原點坐標位于地面上任意一點，在分析物體的旋轉運動時一般不會用到。

剛才我們講到兩個坐標系，那建立這兩個坐標系的目的是什么呢？當然是要描述清楚飛行器的姿態(tài)信息以及角運動狀態(tài)，目前為止，描述清楚姿態(tài)信息的方式有三種：歐拉角、旋轉矩陣、四元素。

歐拉角是歐拉引入用來描述剛體姿態(tài)的三個角，也是我們平常最容易理解，最容易具象表述清楚的一種方式。歐拉角有 靜態(tài)和動態(tài) 兩種，靜態(tài)的是繞靜止的慣性坐標系三個軸進行旋轉，而動態(tài)的在旋轉過程中旋轉坐標軸會發(fā)生變化，除了第一次旋轉是繞慣性系的坐標軸進行之外，后續(xù)兩次旋轉都是動態(tài)的，并且前面旋轉的角度對后面的旋轉軸是有影響的，按照不同的軸順序進行旋轉得到的歐拉角也是不同的，旋轉變換可以歸結為若干個沿著坐標軸旋轉的組合，組合個數(shù)不超過三個并且兩個相鄰的旋轉必須沿著不同坐標軸，總共有12種旋轉方式，分別是XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ。雖然存在12種旋轉方式，但是每一種旋轉方式都存在萬向鎖現(xiàn)象，什么是萬向鎖，這是一個比較復雜的問題，我們會在后面進階篇進行描述。下圖是常見的一種歐拉旋轉方式：

而航空專業(yè)通常采用的旋轉方式是ZYX順序，下圖是一架飛機按照ZYX組合進行旋轉產生歐拉角的過程，其中，ψ為偏航角，θ為俯仰角，φ為滾轉角。

旋轉矩陣反映了一個坐標系中的坐標在另一個坐標系中表示的轉換關系。我們先來看一下二維平面坐標系下的情況：

如果用矩陣形式表示就是：

根據(jù)作用的順序，則從機載NED坐標系到機體軸坐標系的歐拉轉換矩陣是

所以，旋轉矩陣基本上是歐拉角的另一種表示形式。只要俯仰角不等于±90°，歐拉角可以描述清楚任何剛體的姿態(tài)以及角運動信息，而對于大部分飛行器來說，俯仰角也不會到90°，所以，使用歐拉角進行姿態(tài)控制完全可以滿足使用要求，但對于一些要求變態(tài)機動能力的飛行器來說，為了防止俯仰角90°時出現(xiàn)奇點，使用四元素替代歐拉角進行姿態(tài)控制是必須的。

我們把飛行器放到陀螺儀旁邊進行對比。首先，我們先來解釋一下上面那個旋轉的陀螺儀的三個環(huán)是怎么旋轉的，每一個環(huán)都連有一根或者兩根軸，這根軸就是每個環(huán)的旋轉軸，我們可以看到最外面那個環(huán)旋轉不會影響里面兩個環(huán)的位置，中間那個環(huán)的旋轉不會影響最里面那個環(huán)的位置，但是最外面的那個環(huán)會跟著動，而最里面那個環(huán)旋轉會影響到外面兩個環(huán)的位置，這種現(xiàn)象跟我們上一次講歐拉旋轉里的三次旋轉是一樣的，這也是我們拿陀螺儀來解釋歐拉角萬向鎖現(xiàn)象的原因。

先來看一下最外側那個環(huán)的旋轉情況，上次采用的是ZYX的順序進行旋轉，所以最外面那個環(huán)對應的就是繞X軸的旋轉，對應的是飛行器的滾轉運動：

但是如果我們的飛機俯仰角到達±90°時，你會發(fā)現(xiàn)此時綠色代表的滾轉運動和藍色代表的偏航運動他們的旋轉軸重合了，這時候你必須要改變最里面自轉軸的角度才能夠達到你需要的空間位置，而這是違背陀螺定軸性規(guī)律的，所以下圖陀螺儀中運動的那個方向其實是被鎖住了的，你在俯仰角達到±90°時就不可能有這個方向的運動，這是因為當你俯仰角達到±90°時，你改變了第三個要旋轉的軸的方向，它與你第一次旋轉的Z軸重合了，所以在空間中失去了一個自由度：

這就是歐拉角的萬向鎖現(xiàn)象，為了更好的理解這個現(xiàn)象，我們再用自己的手機做一個試驗，你把手機屏幕朝上，手機的長邊為X軸，短邊為Y軸，Z軸垂直屏幕向下，那你先繞Z軸旋轉一下手機，假設旋轉30度，然后再把手機繞X軸旋轉90度，也就是把手機長邊接觸桌面豎立起來，這時候你再繞手機的短邊旋轉，你會發(fā)現(xiàn)手機的長邊一直定在桌面上不可能脫離桌面，這就是萬向鎖現(xiàn)象。

最后，再讓我們用數(shù)據(jù)公式來解釋一下萬向鎖現(xiàn)象產生的原因，我們來回顧一下昨天的旋轉矩陣：

如果俯仰角為±90°，那么公式就變成了：

歐拉角表示姿態(tài)時會遇到萬向鎖的問題，這就導致同一種空間狀態(tài)歐拉角的表示方式不唯一，當出現(xiàn)萬向鎖現(xiàn)象時，同一種旋轉有無數(shù)種歐拉角表示形式，從而導致了歐拉角差值時出現(xiàn)問題，因為當你俯仰角接近90°時，兩組千差萬別的歐拉角表示可以是同一種旋轉。所以為了解決這些問題，數(shù)學上想出了用四元數(shù)的形式來表征姿態(tài)的方法。

對于導航飛控的算法，我們需要對四元數(shù)有什么了解，其實很簡單，我們要知道它的基本運算規(guī)律，要知道它以什么樣的方式表征姿態(tài)，要知道它跟其他兩個表征姿態(tài)的歐拉角和旋轉矩陣方式如何互相轉換。除此之外，還有后續(xù)如何使用四元數(shù)進行建模和控制律設計，如何在導航算法中得到四元數(shù)的狀態(tài)。

四元數(shù)是由1個實數(shù)加上3個復數(shù)組合而成，通?？梢员硎境蓋+xi+yj+zk或者（w，（x，y，z）），其中w、x、y、z都是實數(shù)，而i^2 = j^2 =k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1。

那對于四元數(shù)的運算法則，我們要清楚的有以下幾個，假設有兩個四元數(shù)分別為q1=(w1,(x1,y1,z1))和q2=(w2,(x2,y2,z2))，令v1 = (x1,y1,z1),v2= (x2,y2,z2)，則

了解了四元數(shù)的基本運算規(guī)律后，我們來看下它如何表征姿態(tài)，假設存在一根旋轉軸u，有一個繞u軸旋轉σ角度的這么一個旋轉存在，那這時候代表這個旋轉的四元數(shù)是這樣子的：

其中u是旋轉軸的單位向量，q是一個單位四元數(shù)。

至于為什么會有這個結果，我們這兒就不展開證明了，思路就是你要證明v和w之間的夾角是σ就行，證明的事情交給數(shù)學家們去做，我們只需要知道四元數(shù)這么寫可以用來表征姿態(tài)，其實是表征旋轉關系，跟旋轉矩陣的表示方法類似，只不過它只需要4個元素，而旋轉矩陣需要9個元素。

四元素轉旋轉矩陣：

旋轉矩陣四元素：

已知旋轉矩陣：

則求解四元數(shù)時根據(jù)的方法就是從四元數(shù)轉旋轉矩陣的公式中得到：

則四元素：

歐拉角轉四元數(shù)：

已知歐拉角：α、β、γ